Si quieres aplicar los cambios del personalizador de temas de WordPress en otro sitio web que usa el mismo tema o tema hijo, sería una tarea muy tediosa hacer las configuraciones nuevamente, en este artículo veremos cómo realizar esto ya sea a través de la BD o usando un plugin.
Generalidades
El personalizador de temas de WordPress, te permite, como administrador, ajustar las configuraciones principales del tema, desde la definición de títulos, logo, colores, hasta asignación de menús y widgets. Además de esto, te permite tener una vista previa de todos los cambios que vas realizando.
Para tu tema actual, puedes acceder al personalizador desde: Apariencia > Personalizar

Opción 1 – Exportar e importar configuraciones usando un plugin
Esta es la forma más simple de reutilizar las configuraciones de tu tema, puedes usar el plugin Customizer Export/Import
Tras instalar y activar el plugin verás que ahora como parte del personalizador de temas tienes una opción adicional de Exportar/Importar, tal como se muestra en la siguiente imagen:

Al ingresar a esta opción verás el detalle de las opciones que te ha creado el plugin para exportar e importar un archivo.

El plugin exporta un archivo .dat, para importar este archivo en el sitio destino tienes igualmente que instalar el plugin para que te aparezca la opción de importación.
Opción 2 – Exportar e importar configuraciones desde la Base de Datos
Las configuraciones del personalizador de temas de WordPress se guardan en la tabla wp_options, con un nombre de registro
theme_mods_XXXX
en donde XXXX es el nombre del tema, por ejemplo: theme_mods_storefront-child
Puedes usar la siguiente consulta SQL para listar todos los registros de configuración del personalizador
SELECT * FROM wp_options WHERE option_name LIKE 'theme_mods%';
Aparecerá una lista con las configuraciones guardadas para los diferentes temas de tu sitio web, selecciona el registro que te interese y copia el valor de option_value, este es un campo con texto serializado por lo que asegúrate de copiar todo el contenido de este campo.

Realiza el mismo procedimiento en el sitio de destino, consultando la BD y luego pega el valor de option_value del registro copiado anteriormente.
¿Y el CSS Personalizado?
En las versiones actuales de WordPress, el CSS personalizado que agregas como parte de la configuración del tema, no se encuentra como parte del registro theme_mods.

El CSS personalizado se guarda también a nivel de base de datos, pero lo hace en la tabla wp_posts y se almacena como un CPT llamado custom_css
Podrías insertar un nuevo registro similar manualmente en el sitio destino, sin embargo en este caso lo más práctico es copiar directamente el contenido de CSS de un personalizador a otro.
¿Aún con dudas?, en el siguiente video se detallan los puntos anteriores.